Nama : Nunung Nurjanah
NIM :
1410150150
Dosen : Muhammad Ali Misri, M. Si
Tugas : Aljabar Abstrak
Matematika
– D/ Smt 6
BAB II PERKENALAN GRUP
Bagian 5 Definisi dan
Contoh
Grup
adalah dibutuhkan kesabaran untuk memahami berbagai macam cara dalam grup yang
sering muncul, tetapi salah satu caranya yang sangat terkenal yakni kita dapat
menggunakan cara ini ke definisi utama. Akhirnya, kita menyebut tiga cara ini mengenai himpunan bilangan bulat dengan
operasi penjumlahan. Pertama, penjumlahan assosiatif. Kedua, 0 adalah elemen
identitas. Kemudian yang ketiga relative terhadap 0 ; setiap bilangan bulat
memiliki invers (negatif).
Definisi
: Sebuah grup adalah himpunan G secara bersama-sama dengan sebuah operasi *
pada G, memenuhi aksioma sebagai berikut
:
Assosiatif
: a * (b * c) = (a * b) * c untuk setiap a, b, c ϵ G
Terdapat
pada elemen identitas :
Ini
adalah sebuah elemen e ϵ G seperti a * e = e * a untuk setiap a ϵ G
Terdapat
pada elemen invers :
Untuk
setiap a ϵ G ini adalah sebuah elemen b ϵ G seperti a * b = b * a = e
Pemberitahuan
bahwa sebuah grup terdiri dari sepasang cara, himpunan dan sebuah operasi pada
himpunan tersebut. Faktanya, himpunan harus tertutup dengan respek operasinya.
Seringkali sebuah grup ditunjukan untuk sekedar menamai penekanan himpunan,
tetapi aman sekali jika ini jelas pada operasi yang dimaksudkan. Seperti sebuah
kasus special, kapanpun kita mengacu pada sebuah grup bilangan bulat, operasi
ini berarti menjadi operasi penjumlahan.
Contoh
5.1. Himpunan pada bilangan bulat dengan penjumlahan pada sebuah grup. Penjumlahan
ini adalah sebuah operasi karena jumlah dari 2 kemungkinan bilangan bulat adalah
kemungkinan bilangan bulat. Hukum assosiatif adalah cocok untuk semua bilangan
bulat. Ciri-ciri elemennya adalah 0, dan invers dari bilangan bulat x adalah –x
(bilangan bulat).
Contoh
5.2. Himpunan bilangan bulat positif dengan penjumlahan yang bukan grup, karena
ini bukan elemen identitas. Jika kita mempertimbangkan setiap bilangan bulat
positif dengan 0, kita tidak akan menemukan sebuah grup, karena tidak ada
elemen lainnya dibandingkan 0 yang mempunyai invers.
Contoh
5.3. Himpunan {0} dengan penjumlahan adalah sebuah grup. Pemberitahuan bahwa
karena sebuah grup harus berisi sebuah elemen identitas, himpunan menekankan
sebuah grup harus selalau berisi paling sedikit satu elemen.
Contoh
5.4. Himpuanan bilangan real positif dengan perkalian adalah sebuah grup. Jika
r/s dan u/v positif, kemudian (r/s)(u/v) = ru/sv adalah positif juga. Kita
ambil hokum assosiatif yang biasanya mengetahui fakta dari aritmatika. Elemen
identitas adalah 1, dan invers dari r/s adalah s/r (r ≠ 0, s ≠ 0).
Contoh
5.5. Tabel 5.1 dan 5.2 mendefinisikan operasi pada himpunan {a, b, c} adalah
hasil grup. Pada tabel 5.1 (*), adalah sebuah elemen identitas dan invers dari
a, b, dan c adalah a, c, b, secara berturut-turut. Pada tabel 5.2 (#), b adalah
elemen identitas dan invers dari a, b, dan c adalah c, b, dan a, secara
berturut-turut.
Tabel
5.1
*
|
a
|
b
|
c
|
a
|
a
|
b
|
c
|
b
|
b
|
c
|
a
|
c
|
c
|
a
|
b
|
Tabel 5.2
#
|
a
|
b
|
c
|
a
|
c
|
a
|
b
|
b
|
a
|
b
|
c
|
c
|
b
|
c
|
a
|
Contoh
5.6. Jika S adalah setiap himpunan tidak kosong, kemudian himpunan dari semua
yang dapat memetakan dalam M(S) adalah sebuah grup dengan komposisi sebagai
operasinya.
Contoh
5.7. Jika P merupakan posisi titik pada sebuah bidang, dan jika G merupakan
himpunan dari semua perputaran pada bidang tentang titik P. pada contoh 4.1
kita amati bahwa komposisi adalah sebuah operasi pada himpunan G, dan kita
buktikan juga segala sesuatu menunjukan bahwa pemberian ini adalah grup.
Contoh
5.8. Jika A merupakan himpunan pada semua
peta αa,b :
→
, didefinisikan dalam contoh 4.2.
mengingat bahwa a,b ϵ
, a ≠ 0, dan αa,b(
) = a
+ b untuk setiap
ϵ
. Dengan sebuah komposisi pada peta
adalah sebuah operasi, hasilnya adalah grup. Peraturan untuk komposisi telah
dikembangkan dalam contoh 4.2. elemen identitas α1,0, inversnya pada
αa,b adalah
b.
Contoh
5.9. Jika M(2,
) merupakan himpunan untuk semua
matriks 2 × 2 dengan operasi penjumlahan.
Contoh
3.10. Jika GL (2,
) merupakan himpunan untuk semua
matriks 2 × 2 dengan determinan tak nol. Contoh 3.9 menunjukan bahwa GL (2,
) dengan perkalian matriks adalah
grup. Ini disebut grup linear umum dari matriks 2 × 2 pada
. Disini hanya memuat
matriks-matriks dengan determinan tak nol sedemikian sehingga setiap matriks
akan mempunyai invers.
Definisi
: Sebuah grup G dikatakan Abelian jika
operasi pada grupnya adalah komutatif (ab = ba untuk setiap a,b ϵ G).
Nama
Abelian adalah gelar kehormatan seorang matematikawan Norwegia yakni Niels
Henrik Abel (1802 - 1829), yang turut berkontribusi dalam pembahasan Bab 10.
Grup pada contoh 5.1, 5.3, 5.4, 5.5, 5.7, dan 5.9 adalah Abelian. Sedangkan
grup pada contoh 5.8 dan 5.10 adalah bukan Abelian. Grup pada contoh 5.6 bukan
Abelian jika
.
Pemeriksaan
pada grup-grup memberikan pernyataan bahwa setiap kasus seperti ini hanya satu
elemen identitas. Definisi tersebut sejatinya adalah satu; maksudnya adalah tidak
dapat menjadi lebih dari satu. Dengan cara yang sama, setiap elemen dalam
setiap grup hanya mempunyai satu elemen invers. Ini adalah pernyataan resmi dan
bukti dari dua fakta.
Teorema
5.1. Asumsikan bahwa G dengan * adalah grup.
a) Elemen
identitas pada G adalah unik. Demikian, jika e dan f adalah elemen pada G
seperti berikut : e * a = a * e =
a untuk setiap a ϵ G
Dan f * a = a * f = a untuk setiap a ϵ G
Jadi, e = f
b) Setiap
elemen dalam sebuah grup mempunyai invers yang unik. Demikian, jika a,
, dan y adalah elemen pada G, e
adalah elemen identitas pada G sebagai berikut :
a *
=
* a = e
dan a
* y = y * a = e
Jadi,
= y
Bukti.
a) Asumsikan bahwa e dan f adalah
sebagai pernyataan. Kemudian, e * a = a untuk setiap a ϵ G dan dalam faktanya e
* f = f. dengan cara yang sama, penggunaan a = e dalam a * f = a, kita
mendapatkan e * f = e.
b) Dengan
a,
, dan y adalah sebagai pernyataan.
=
* (a *
y) (a * y = e)
= (
* a) * y (Assosiatif)
= e * y (
* a = e)
= y (e
adalah identitas)
Elemen
pada suatu bilangan dalam himpunan menekankan sebuah grup yang disebut urutan
pada grup;
(biasanya
merupakan elemen pada suatu bilangan dalam
himpunan S ). Sebuah grup dikatakan berhingga atau tak hingga tergantung apakah
itu berhingga atau tidak.
Penyelesaian Soal :
5.3. a + b = b + a = e
2 + (-2) = (-2) + 2 = e
0 = 0 terbukti (komutatif)
a + (b + c) = (a + b) + c
1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3
1 + 5 = 3 + 3
6 = 6 terbukti (Assosiatif)
Identitas
a * e = e * a = a
a + e = e + a = a
misal :
a = 2 2 + 0 = 0 + 2 = 2
e = 0 2 = 2 (terbukti)
v Jadi, terbukti bahwa diatas tertutup pada
operasi penjumlahan dan merupakan grup.
5.
4. Perkalian
a * b = b * a = e (komutatif)
a . b = b . a = 1
misal : a = 3
invers a (b) = 1/3
3. 1/3 = 1/3 . 3 = 1
1 = 1 (terbukti)
Assosiatif
a * (b * c) = (a * b) * c
misal : a = 2, b = 1,
c = 3
2 * (1 * 3) = (2 * 1) * 3
6 = 6 (terbukti)
Identitas
a * e = e * a = a
misal a = 4
4 * 1 = 1 * 4 = 4
4 = 4 (terbukti)
v Jadi,
terbukti bahwa pembuktian diatas tertutup terhadap operasi perkalian dan
merupakan grup.
5.10.
Semua bilangan bulat tertutup terhadap operasi pengurangan
Syarat grup :
Ø Assosiatif
Ø Komutatif
Ø Identitas
Assosiatif
a
– (b - c) = (a - b) – c
2
– (3 - 1) = (2 - 3) -1
2
– (2) = (-1) – 1
0 = -2 (tidak tertutup pada assosiatif)
v Maka
untuk bilangan bulat pada operasi pengurangan bukan merupakan grup.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar