Tugas Resume Aljabar Abstrak ni...

Nama              : Nunung Nurjanah

NIM                : 1410150150

Dosen              : Muhammad Ali Misri, M. Si

Tugas              : Aljabar Abstrak

Matematika – D/ Smt 6

BAB II PERKENALAN GRUP

Bagian 5 Definisi dan Contoh

Grup adalah dibutuhkan kesabaran untuk memahami berbagai macam cara dalam grup yang sering muncul, tetapi salah satu caranya yang sangat terkenal yakni kita dapat menggunakan cara ini ke definisi utama. Akhirnya, kita menyebut tiga cara  ini mengenai himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. Pertama, penjumlahan assosiatif. Kedua, 0 adalah elemen identitas. Kemudian yang ketiga relative terhadap 0 ; setiap bilangan bulat memiliki invers (negatif).

Definisi : Sebuah grup adalah himpunan G secara bersama-sama dengan sebuah operasi * pada G, memenuhi  aksioma sebagai berikut :

Assosiatif :      a * (b * c) = (a * b) * c                        untuk setiap a, b, c ϵ G

Terdapat pada elemen identitas :

Ini adalah sebuah elemen e ϵ G seperti a * e = e * a               untuk setiap a ϵ G

Terdapat pada elemen invers :

Untuk setiap a ϵ G ini adalah sebuah elemen b ϵ G seperti a * b = b * a = e

Pemberitahuan bahwa sebuah grup terdiri dari sepasang cara, himpunan dan sebuah operasi pada himpunan tersebut. Faktanya, himpunan harus tertutup dengan respek operasinya. Seringkali sebuah grup ditunjukan untuk sekedar menamai penekanan himpunan, tetapi aman sekali jika ini jelas pada operasi yang dimaksudkan. Seperti sebuah kasus special, kapanpun kita mengacu pada sebuah grup bilangan bulat, operasi ini berarti menjadi operasi penjumlahan.

Contoh 5.1. Himpunan pada bilangan bulat dengan penjumlahan pada sebuah grup. Penjumlahan ini adalah sebuah operasi karena jumlah dari 2 kemungkinan bilangan bulat adalah kemungkinan bilangan bulat. Hukum assosiatif adalah cocok untuk semua bilangan bulat. Ciri-ciri elemennya adalah 0, dan invers dari bilangan bulat x adalah –x (bilangan bulat).

Contoh 5.2. Himpunan bilangan bulat positif dengan penjumlahan yang bukan grup, karena ini bukan elemen identitas. Jika kita mempertimbangkan setiap bilangan bulat positif dengan 0, kita tidak akan menemukan sebuah grup, karena tidak ada elemen lainnya dibandingkan 0 yang mempunyai invers.

Contoh 5.3. Himpunan {0} dengan penjumlahan adalah sebuah grup. Pemberitahuan bahwa karena sebuah grup harus berisi sebuah elemen identitas, himpunan menekankan sebuah grup harus selalau berisi paling sedikit satu elemen.

Contoh 5.4. Himpuanan bilangan real positif dengan perkalian adalah sebuah grup. Jika r/s dan u/v positif, kemudian (r/s)(u/v) = ru/sv adalah positif juga. Kita ambil hokum assosiatif yang biasanya mengetahui fakta dari aritmatika. Elemen identitas adalah 1, dan invers dari r/s adalah s/r (r ≠ 0, s ≠ 0).

Contoh 5.5. Tabel 5.1 dan 5.2 mendefinisikan operasi pada himpunan {a, b, c} adalah hasil grup. Pada tabel 5.1 (*), adalah sebuah elemen identitas dan invers dari a, b, dan c adalah a, c, b, secara berturut-turut. Pada tabel 5.2 (#), b adalah elemen identitas dan invers dari a, b, dan c adalah c, b, dan a, secara berturut-turut.

Tabel 5.1

*	a	b	c
a	a	b	c
b	b	c	a
c	c	a	b

 Tabel 5.2

#	a	b	c
a	c	a	b
b	a	b	c
c	b	c	a

Contoh 5.6. Jika S adalah setiap himpunan tidak kosong, kemudian himpunan dari semua yang dapat memetakan dalam M(S) adalah sebuah grup dengan komposisi sebagai operasinya.

Contoh 5.7. Jika P merupakan posisi titik pada sebuah bidang, dan jika G merupakan himpunan dari semua perputaran pada bidang tentang titik P. pada contoh 4.1 kita amati bahwa komposisi adalah sebuah operasi pada himpunan G, dan kita buktikan juga segala sesuatu menunjukan bahwa pemberian ini adalah grup.

Contoh 5.8.  Jika A merupakan himpunan pada semua peta α_a,b : → , didefinisikan dalam contoh 4.2. mengingat bahwa a,b ϵ , a ≠ 0, dan α_a,b( ) = a  + b untuk setiap ϵ . Dengan sebuah komposisi pada peta adalah sebuah operasi, hasilnya adalah grup. Peraturan untuk komposisi telah dikembangkan dalam contoh 4.2. elemen identitas α_1,0, inversnya pada α_a,b adalah _b.

Contoh 5.9. Jika M(2, ) merupakan himpunan untuk semua matriks 2 × 2 dengan operasi penjumlahan.

Contoh 3.10. Jika GL (2, ) merupakan himpunan untuk semua matriks 2 × 2 dengan determinan tak nol. Contoh 3.9  menunjukan bahwa GL (2, ) dengan perkalian matriks adalah grup. Ini disebut grup linear umum dari matriks 2 × 2 pada . Disini hanya memuat matriks-matriks dengan determinan tak nol sedemikian sehingga setiap matriks akan mempunyai invers.

Definisi : Sebuah grup G dikatakan Abelian jika operasi pada grupnya adalah komutatif (ab = ba untuk setiap a,b ϵ G).

Nama Abelian adalah gelar kehormatan seorang matematikawan Norwegia yakni Niels Henrik Abel (1802 - 1829), yang turut berkontribusi dalam pembahasan Bab 10. Grup pada contoh 5.1, 5.3, 5.4, 5.5, 5.7, dan 5.9 adalah Abelian. Sedangkan grup pada contoh 5.8 dan 5.10 adalah bukan Abelian. Grup pada contoh 5.6 bukan Abelian jika .

Pemeriksaan pada grup-grup memberikan pernyataan bahwa setiap kasus seperti ini hanya satu elemen identitas. Definisi tersebut sejatinya adalah satu; maksudnya adalah tidak dapat menjadi lebih dari satu. Dengan cara yang sama, setiap elemen dalam setiap grup hanya mempunyai satu elemen invers. Ini adalah pernyataan resmi dan bukti dari dua fakta.

Teorema 5.1. Asumsikan bahwa G dengan * adalah grup.

a)      Elemen identitas pada G adalah unik. Demikian, jika e dan f adalah elemen pada G seperti berikut :         e * a = a * e = a     untuk setiap a ϵ G

Dan     f * a = a * f = a           untuk setiap a ϵ G

Jadi,     e = f

b)      Setiap elemen dalam sebuah grup mempunyai invers yang unik. Demikian, jika a, , dan y adalah elemen pada G, e adalah elemen identitas pada G sebagai berikut :

a *  =  * a = e

dan      a * y = y * a = e

                                    Jadi,      = y

Bukti. a)  Asumsikan bahwa e dan f adalah sebagai pernyataan. Kemudian, e * a = a untuk setiap a ϵ G dan dalam faktanya e * f = f. dengan cara yang sama, penggunaan a = e dalam a * f = a, kita mendapatkan e * f = e.

b)   Dengan a, , dan y adalah sebagai pernyataan.

             =  * e                     (e adalah identitas)

               =  *  (a * y)            (a * y = e)

              = (  * a) * y              (Assosiatif)

              = e * y                       (  * a = e)

              = y                             (e adalah identitas)

Elemen pada suatu bilangan dalam himpunan menekankan sebuah grup yang disebut urutan pada grup;  (biasanya  merupakan elemen pada suatu bilangan dalam himpunan S ). Sebuah grup dikatakan berhingga atau tak hingga tergantung apakah itu berhingga atau tidak.

Penyelesaian Soal :

5.3.      a + b = b + a = e

            2 + (-2) = (-2) + 2 = e

            0 = 0                terbukti (komutatif)

            a + (b + c) = (a + b) + c

            1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3

            1 + 5 = 3 + 3

            6 = 6                terbukti (Assosiatif)

            Identitas

            a * e = e * a = a

            a + e = e + a = a

            misal :

            a = 2                            2 + 0 = 0 + 2 = 2

            e = 0                            2 = 2                (terbukti)

v   Jadi, terbukti bahwa diatas tertutup pada operasi penjumlahan dan merupakan grup.

5. 4.     Perkalian

            a * b = b * a = e          (komutatif)

            a . b = b . a = 1

            misal : a = 3

            invers a (b) = 1/3

            3. 1/3 = 1/3 . 3 = 1

            1 = 1                (terbukti)

            Assosiatif

            a * (b * c) = (a * b) * c

            misal : a = 2,  b = 1,  c = 3

            2 * (1 * 3) = (2 * 1) * 3

            6 = 6                (terbukti)

            Identitas

            a * e = e * a = a

            misal a = 4

            4 * 1 = 1 * 4 = 4

            4 = 4                (terbukti)

v  Jadi, terbukti bahwa pembuktian diatas tertutup terhadap operasi perkalian dan merupakan grup.

5.10. Semua bilangan bulat tertutup terhadap operasi pengurangan

            Syarat grup :

Ø  Assosiatif

Ø  Komutatif

Ø  Identitas

Assosiatif

a – (b - c) = (a - b) – c

2 – (3 - 1) = (2 - 3) -1

2 – (2)        = (-1) – 1

0                = -2                  (tidak tertutup pada assosiatif)

v  Maka untuk bilangan bulat pada operasi pengurangan bukan merupakan grup.