Tugas Resume ttg Subgrup lho..

Nama                   : Nunung Nurjanah

NIM           : 1410150150

Kelas          : Matematika D / Smt 6

Dosen         : Muhammad Ali Misri, M. Si

Tugas         : Aljabar Abstrak

BAGIAN 7 : SUBGRUP

Himpunan bilangan bulat adalah bagian dari himpunan semua bilangan bulat, dan kedua himpunan tersebut adalah grup dengan operasi penjumlahan. Jadi bilangan bulat membentuk sebuah subgroup dari semua grup bilangan bulat.

Definisi. Himpunan bagian H dari suatu grup G adalah subgrup dari G jika H sendiri merupakan grup sehubungan dengan operasi pada G.

Perhatikan bahwa jika G adalah grup dengan operasi *, H adalah subgrup G, dan a, b ​​ϵ H, maka a * b ϵ H. Artinya, H harus tertutup sehubungan dengan operasi *, khususnya a * a ϵ H untuk setiap a ϵ H.

Contoh 7.1.

a)      Suatu grup bilangan bulat dengan penjumlahan adalah subgrup dari grup bilangan real dengan penjumlahan.

b)      Dengan perkalian, {1, -1} adalah subgrup dari grup bilangan real bukan nol.

c)      Setiap grup adalah subgrup dari dirinya sendiri.

d)     Jika e adalah identitas dari grup G, maka {e} adalah subgroup dari G.

Teorema 7.1 Akan memberikan cara mudah untuk memutuskan apakah subset dari grup adalah subgrup. Tapi pertama-tama kita perlu hasil awal sebagai berikut.

Lemma 7.1  Misalnya G menjadi grup dengan operasi *, dan misalnya H menjadi subgrup G.

a)      Jika f adalah identitas H dan e adalah identitas G, maka f = e.

b)      Jika a ϵ H, maka invers dari a di H adalah sama dengan invers dari a di G.

Bukti. (a) Jika f adalah identitas H, maka f * f = f. Oleh karena itu, jika  menunjukkan

Invers f di G, maka :

 (b) Asumsikan a ϵ H. Misalnya  menunjukan invers dari a pada G dan misalnya c menunjukkan invers dari a pada H. Kemudian a * c = c * a = f, sehingga a * c = c * a = e oleh (a) bukti tersebut. Namun, Teorema 5.1 (b) memenuhi bahwa  adalah elemen  unik pada G menunjukan . Oleh karena itu, .

Teorema 7.1. Misalnya G menjadi sebuah grup dengan operasi *, dan misalnya H menjadi bagian dari G. Maka H adalah subgroup di G jika :

a)      H tidak kosong,

b)      Jika a ϵ H dan b ϵ H, maka a * b ϵ H, dan

c)      Jika a ϵ H, maka H.

Bukti. Asumsikan H menjadi subgrup. Kemudian, sebagai grup, maka harus mengandung setidaknya elemen identitas dan dengan demikian menjadi tidak kosong, kondisi konfirmasi (a). Perlunya penutupan untuk grup, kondisi (b), telah ditunjukkan. Sekarang perhatikan kondisi (c). jika, maka harus memiliki invers pada himpunan H. Pada Lemma 7.1 (b), inversnya adalah , invers dari dalam G. Jadi  . Kami sekarang telah membuktikan bahwa apabila H adalah subgrup, maka kondisi (a), (b), dan (c) harus terpenuhi.

Asumsikan sekarang bahwa H adalah himpunan bagian yang memenuhi (a), (b), dan (c). Untuk memverifikasi bahwa H adalah grup kami harus memverifikasi itu sehubungan dengan *, H memenuhi kondisi dalam definisi grup dalam Bagian 5. Properti (b) memastikan bahwa * adalah operasi pada H. Hukum asosiatif otomatis terpenuhi : Jika a * (b * c) = (a * b) * c adalah benar untuk semua elemen pada G, maka tentu berlaku untuk semua elemen di H, himpunan bagian dari G. Untuk menunjukkan bahwa H mengandung e, elemen identitas di G, misalkan menunjukkan adanya unsur H, ada semacam unsur oleh kondisi (a). dengan kondisi (c), . Oleh karena itu, dengan kondisi (b), . Jadi H adalah subgrup.

Contoh 7.2. Jika  adalah bilangan bulat, himpunan semua perkalian bilangan bulat dari  memenuhi kondisi Teorema 7.1 dan karena itu subgroup pada  (sehubungan dengan +). Dalam kasus ini, invers dari unsur adalah negatif dari elemen. Kasus khusus k = 2 memberikan subgrup semua kejadian bilangan bulat.

Contoh 7.3. Tabel 7.1 menunjukkan bahwa jika H = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}, maka H adalah subgrup dari S₃. Memeriksa kondisi Teorema 7.1, kita lihat dulu bahwa H tidak kosong. Penutupan terpenuhi karena tidak muncul dalam tabel kecuali (1), (1 2 3), dan (1 3 2). Dan kondisi (c) terpenuhi karena .

Kami mendefinisikan permutasi untuk menjadi genap atau ganjil tergantung pada apakah itu dapat ditulis sebagai produk transposisi genap atau ganjil. Jadi sebelumnya persamaan menunjukkan bahwa (1 2 3 4 5) adalah genap dan (1 2 5) (3 4) adalah ganjil.

Teorema 7.2. (Alternating Group). Himpunan semua permutasi genap pada S_n, membentuk subgrup pada S_n, untuk setiap n ≥ 2. Subgrup ini disebut kelompok tertukar pada derajat n, dan akan dilambangkan oleh A_n. Urutan A_n adalah

Bukti. Gunakan Teorema 7.1. Identitas permutasi adalah pada A_n karena (1) = (1 2) (1 2). Jika, maka  karena hasil dari transposisi bilangan genap dan transposisi bilangan bulat akan memberikan transposisi bilangan bulat. Akhirnya, invers dari, sehingga dapat ditulis dengan menggunakan transposisi angka yang sama sebagai . Jadi menyiratkan .

Untuk membuktikan bahwa urutan A_n adalah , itu sudah cukup untuk membuktikan bahwa S_n memiliki angka yang sama pada permutasi genap dan permutasi ganjil, karena S_n memiliki rangka n!. Untuk melakukan hal ini, cukuplah untuk membuktikan bahwa pemetaan ditegaskan oleh adalah satu-ke-satu adalah himpunan semua permutasi ganjil di S_n ini yang tersisa untuk Soal 7.7.

Asumsikan bahwa G adalah permutasi grup pada himpunan S, dan T adalah himpunan bagian dari S. Misalnya

Kita mengatakan bahwa unsur-unsur G_T meninggalkan T elementwise invarian.

Jika α adalah permutasi dari S, dan T adalah himpunan bagian dari S, maka α (T) menunjukkan himpunan semua elemen α (t) untuk t ϵ T. Misalnya :

Dengan demikian, jika  maka dapat mengubah urutan unsur-unsur pada T di antara mereka sendiri, tetapi mengirimkan tidak ada elemen T selain T. Kami mengatakan bahwa elemen-elemen G_(T) meninggalkan T invarian.

Teorema 7.3. Jika G adalah grup permutasi pada S, dan T adalah himpunan bagian dari S, maka G_T dan G_(T) adalah subgrup pada G. Juga, G_T adalah subgrup dari G_(T).

Bukti. Terapkan Teorema 7.1, pertama untuk G_T  Karena t, pemetaan identitas S, dalam

G_T, himpunan G_T tidak kosong. Jika , kemudian

Untuk setiap  sehingga . Akhirnya, jika   dan  , maka :

Sehingga . Bukti bahwa adalah kelompok serupa, cukup mengganti t oleh T pada tempat yang jelas (Soal 7.15).

Untuk membuktikan bahwa G_T adalah subgrup , asumsikan  Kemudian  untuk setiap  sehingga . Artinya,

LATIHAN SOAL

7.3. Misalkan S = {1, 2, 3} dan G = S₃. Tulis semua elemen dari GT dan G(T) di kasus lain.

a)      T = {1}

b)      T = {2,3}

Jawab :

a)      GT = {(1)(2)(3), (1)(2  3)}

      = {(1), (2  3)}

G(T ) = {(1)(2)(3), (1)(2)(3), (1)(2  3)}

          = {(1), (2  3)}

b)      GT = {(1)(2)(3), (1)(2)(3)}

= {(1)(2)(3)}

G(T) = {(1)(2)(3), (1)(2  3), (1)(2)(3)}

         = {(1), (2  3)}

7.4. Misalkan S = {1,2,3,4} dan G = S₄. Tulis semua elemen dari GT dan G(T) di kasus lain.

a)      T = {1}

b)      T = {1,2,3}

Jawab :

a)      GT = {(1)(2)(3)(4), (1)(2  3  4)}

      = {(1)(2  3  4)}

G(T) = {(1)(2)(3)(4), (1)(2)(3)(4), (1)(2  3  4)}

         = {(1)(2  3  4)}

b)      GT = {(1)(2)(3)(4), (1)(2)(3)(4)}

                  = {(1)(2)(3)(4)}

G(T) = {(1)(2)(3)(4), (1)(2)(3)(4), (1)(2  3  4)}

        = {(1)(2  3  4)}

7.22. Misalnya G menjadi sebuah grup dengan operasi *, dan misalnya H menjadi bagian dari G. Maka H adalah subgroup di G jika :

a)      H tidak kosong,

b)      Jika a ϵ H dan b ϵ H, maka a * b ϵ H, dan

Jawab :

Asumsikan H menjadi subgrup. Kemudian, sebagai grup, maka harus mengandung setidaknya elemen identitas dan dengan demikian menjadi tidak kosong, kondisi konfirmasi (a). Perlunya penutupan untuk grup, kondisi (b), telah ditunjukkan. Sekarang perhatikan kondisi (c). jika, maka harus memiliki invers pada himpunan H. Pada Lemma 7.1 (b), inversnya adalah , invers dari dalam G. Jadi  . Kami sekarang telah membuktikan bahwa apabila H adalah subgrup, maka kondisi (a), (b), dan (c) harus terpenuhi.

Hukum asosiatif otomatis terpenuhi : Jika a * (b * c) = (a * b) * c adalah benar untuk semua elemen pada G, maka tentu berlaku untuk semua elemen di H, himpunan bagian dari G. Untuk menunjukkan bahwa H mengandung e, elemen identitas di G, misalkan menunjukkan adanya unsur H, ada semacam unsur oleh kondisi (a). dengan kondisi (c), . Oleh karena itu, dengan kondisi (b), . Jadi H adalah subgrup.