Nama : Nunung Nurjanah
NIM :
1410150150
Kelas : Matematika D / Smt 6
Dosen : Muhammad Ali Misri, M. Si
BAGIAN 7 : SUBGRUP
Himpunan
bilangan bulat adalah bagian dari himpunan semua bilangan bulat, dan kedua himpunan
tersebut adalah grup dengan operasi penjumlahan. Jadi bilangan bulat membentuk
sebuah subgroup dari semua grup bilangan bulat.
Definisi.
Himpunan bagian H dari suatu grup G adalah subgrup dari G jika H sendiri
merupakan grup sehubungan dengan operasi pada G.
Perhatikan
bahwa jika G adalah grup dengan operasi *, H adalah subgrup G, dan a, b ϵ H, maka
a * b ϵ H. Artinya, H harus tertutup sehubungan dengan operasi *, khususnya a *
a ϵ H untuk setiap a ϵ H.
Contoh 7.1.
a) Suatu
grup bilangan bulat dengan penjumlahan adalah subgrup dari grup bilangan real
dengan penjumlahan.
b) Dengan
perkalian, {1, -1} adalah subgrup dari grup bilangan real bukan nol.
c) Setiap
grup adalah subgrup dari dirinya sendiri.
d) Jika
e adalah identitas dari grup G, maka {e} adalah subgroup dari G.
Teorema 7.1
Akan memberikan cara mudah untuk memutuskan apakah subset dari grup adalah subgrup.
Tapi pertama-tama kita perlu hasil awal sebagai berikut.
Lemma 7.1
Misalnya G menjadi grup dengan operasi
*, dan misalnya H menjadi subgrup G.
a) Jika
f adalah identitas H dan e adalah identitas G, maka f = e.
b) Jika
a ϵ H, maka invers dari a di H adalah sama dengan invers dari a di G.
Bukti.
(a) Jika f adalah identitas H, maka f * f = f. Oleh karena itu, jika menunjukkan
Invers
f di G, maka :
(b) Asumsikan a ϵ H. Misalnya menunjukan invers dari a pada G dan misalnya c
menunjukkan invers dari a pada H. Kemudian a * c = c * a = f, sehingga a * c =
c * a = e oleh (a) bukti tersebut. Namun, Teorema 5.1 (b) memenuhi bahwa adalah elemen unik pada G menunjukan . Oleh karena itu, .
Teorema 7.1.
Misalnya G menjadi sebuah grup dengan operasi *, dan misalnya H menjadi bagian
dari G. Maka H adalah subgroup di G jika :
a) H
tidak kosong,
b) Jika
a ϵ H dan b ϵ H, maka a * b ϵ H, dan
c) Jika
a ϵ H, maka H.
Bukti.
Asumsikan H menjadi subgrup. Kemudian, sebagai grup, maka harus mengandung
setidaknya elemen identitas dan dengan demikian menjadi tidak kosong, kondisi
konfirmasi (a). Perlunya penutupan untuk grup, kondisi (b), telah ditunjukkan.
Sekarang perhatikan kondisi (c). jika, maka harus memiliki
invers pada himpunan H. Pada Lemma 7.1 (b), inversnya adalah , invers dari dalam G.
Jadi . Kami sekarang telah membuktikan bahwa apabila
H adalah subgrup, maka kondisi (a), (b), dan (c) harus terpenuhi.
Asumsikan
sekarang bahwa H adalah himpunan bagian yang memenuhi (a), (b), dan (c). Untuk
memverifikasi bahwa H adalah grup kami harus memverifikasi itu sehubungan
dengan *, H memenuhi kondisi dalam definisi grup dalam Bagian 5. Properti (b)
memastikan bahwa * adalah operasi pada H. Hukum asosiatif otomatis terpenuhi :
Jika a * (b * c) = (a * b) * c adalah benar untuk semua elemen pada G, maka
tentu berlaku untuk semua elemen di H, himpunan bagian dari G. Untuk
menunjukkan bahwa H mengandung e, elemen identitas di G, misalkan menunjukkan adanya
unsur H, ada semacam unsur oleh kondisi (a). dengan kondisi (c), . Oleh karena itu,
dengan kondisi (b), . Jadi H adalah subgrup.
Contoh 7.2.
Jika adalah bilangan bulat, himpunan semua perkalian
bilangan bulat dari memenuhi kondisi Teorema 7.1 dan karena itu subgroup
pada (sehubungan dengan +). Dalam kasus ini, invers
dari unsur adalah negatif dari elemen. Kasus khusus k = 2 memberikan subgrup semua
kejadian bilangan bulat.
Contoh 7.3.
Tabel 7.1 menunjukkan bahwa jika H = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}, maka H adalah subgrup
dari S3. Memeriksa kondisi Teorema 7.1, kita lihat dulu bahwa H
tidak kosong. Penutupan terpenuhi karena tidak muncul dalam tabel kecuali (1),
(1 2 3), dan (1 3 2). Dan kondisi (c) terpenuhi karena .
Kami
mendefinisikan permutasi untuk menjadi genap atau ganjil tergantung pada apakah
itu dapat ditulis sebagai produk transposisi genap atau ganjil. Jadi sebelumnya
persamaan menunjukkan bahwa (1 2 3 4 5) adalah genap dan (1 2 5) (3 4) adalah
ganjil.
Teorema 7.2.
(Alternating Group). Himpunan semua permutasi genap pada Sn,
membentuk subgrup pada Sn, untuk setiap n ≥ 2. Subgrup ini disebut
kelompok tertukar pada derajat n, dan akan dilambangkan oleh An.
Urutan An adalah
Bukti.
Gunakan Teorema 7.1. Identitas permutasi adalah pada An karena (1) =
(1 2) (1 2). Jika, maka karena hasil dari transposisi bilangan genap dan
transposisi bilangan bulat akan memberikan transposisi bilangan bulat. Akhirnya,
invers dari, sehingga dapat ditulis dengan
menggunakan transposisi angka yang sama sebagai . Jadi menyiratkan .
Untuk
membuktikan bahwa urutan An adalah , itu sudah cukup untuk
membuktikan bahwa Sn memiliki angka yang sama pada permutasi genap dan
permutasi ganjil, karena Sn memiliki rangka n!. Untuk melakukan hal
ini, cukuplah untuk membuktikan bahwa pemetaan ditegaskan oleh adalah satu-ke-satu adalah himpunan semua
permutasi ganjil di Sn ini yang tersisa untuk Soal 7.7.
Asumsikan
bahwa G adalah permutasi grup pada himpunan S, dan T adalah himpunan bagian
dari S. Misalnya
Kita
mengatakan bahwa unsur-unsur GT meninggalkan T elementwise invarian.
Jika
α adalah permutasi dari S, dan T adalah himpunan bagian dari S, maka α (T)
menunjukkan himpunan semua elemen α (t) untuk t ϵ T. Misalnya :
Dengan
demikian, jika maka dapat mengubah urutan unsur-unsur pada T
di antara mereka sendiri, tetapi mengirimkan tidak ada elemen T selain T. Kami
mengatakan bahwa elemen-elemen G(T) meninggalkan T invarian.
Teorema 7.3.
Jika G adalah grup permutasi pada S, dan T adalah himpunan bagian dari S, maka
GT dan G(T) adalah subgrup pada G. Juga, GT
adalah subgrup dari G(T).
Bukti.
Terapkan Teorema 7.1, pertama untuk GT Karena t, pemetaan identitas S, dalam
GT,
himpunan GT tidak kosong. Jika , kemudian
Untuk setiap sehingga . Akhirnya, jika dan , maka :
Sehingga
. Bukti bahwa adalah kelompok serupa,
cukup mengganti t oleh T pada tempat yang jelas (Soal 7.15).
Untuk
membuktikan bahwa GT adalah subgrup , asumsikan Kemudian untuk setiap sehingga . Artinya,
LATIHAN
SOAL
7.3. Misalkan S = {1, 2, 3} dan G =
S3. Tulis semua elemen dari GT dan G(T) di kasus lain.
a) T
= {1}
b) T
= {2,3}
Jawab
:
a) GT
= {(1)(2)(3), (1)(2 3)}
= {(1), (2 3)}
G(T
) = {(1)(2)(3), (1)(2)(3), (1)(2 3)}
= {(1), (2 3)}
b) GT
= {(1)(2)(3), (1)(2)(3)}
= {(1)(2)(3)}
G(T)
= {(1)(2)(3), (1)(2 3), (1)(2)(3)}
= {(1), (2 3)}
7.4. Misalkan S = {1,2,3,4} dan G = S4.
Tulis semua elemen dari GT dan G(T) di kasus lain.
a) T
= {1}
b) T
= {1,2,3}
Jawab
:
a) GT
= {(1)(2)(3)(4), (1)(2 3 4)}
= {(1)(2
3 4)}
G(T)
= {(1)(2)(3)(4), (1)(2)(3)(4), (1)(2
3 4)}
= {(1)(2 3 4)}
b) GT
= {(1)(2)(3)(4), (1)(2)(3)(4)}
= {(1)(2)(3)(4)}
G(T)
= {(1)(2)(3)(4), (1)(2)(3)(4), (1)(2
3 4)}
= {(1)(2 3 4)}
7.22.
Misalnya G menjadi sebuah grup dengan operasi *, dan misalnya H menjadi bagian
dari G. Maka H adalah subgroup di G jika :
a) H
tidak kosong,
b) Jika
a ϵ H dan b ϵ H, maka a * b ϵ H, dan
Jawab
:
Asumsikan
H menjadi subgrup. Kemudian, sebagai grup, maka harus mengandung setidaknya
elemen identitas dan dengan demikian menjadi tidak kosong, kondisi konfirmasi
(a). Perlunya penutupan untuk grup, kondisi (b), telah ditunjukkan. Sekarang
perhatikan kondisi (c). jika, maka harus memiliki
invers pada himpunan H. Pada Lemma 7.1 (b), inversnya adalah , invers dari dalam G.
Jadi . Kami sekarang telah membuktikan bahwa
apabila H adalah subgrup, maka kondisi (a), (b), dan (c) harus terpenuhi.
Hukum
asosiatif otomatis terpenuhi : Jika a * (b * c) = (a * b) * c adalah benar
untuk semua elemen pada G, maka tentu berlaku untuk semua elemen di H, himpunan
bagian dari G. Untuk menunjukkan bahwa H mengandung e, elemen identitas di G,
misalkan menunjukkan adanya
unsur H, ada semacam unsur oleh kondisi (a). dengan kondisi (c), . Oleh karena itu,
dengan kondisi (b), . Jadi H adalah subgrup.